Matematica discreta Esempi

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 0.25$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.25$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 0.25$ nel polinomio.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 0.25$ alla potenza di $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $8$ per $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 0.25$ alla potenza di $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 10$ per $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $0.625$ da $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 7$ per $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 0.75$ e $1.75$ .

$1 - 1$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 0.25$ è una radice nota, dividi il polinomio per $4 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ per $4 x + 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Passaggio 1.6

Scrivi $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ come insieme di fattori.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $4 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Imposta $2 x^{2} - 3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2 x^{2} - 3 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Somma $9$ e $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.4.1.3

Somma $9$ e $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 4.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5.1.3

Somma $9$ e $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 4.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Forma decimale:

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$